Юрий родился в Смоленске в 1950 году. Отец Алексей Николаевич по специальности был военным техником по обслуживанию самолётов, мать Елена Михайловна – бухгалтером. Перед самым началом Великой Отечественной у них родилась дочь Лариса. Отца забрали на фронт. А мать с родителями, сестрой, маленькими племянниками и двухмесячной дочуркой на руках пытались из оккупированного Смоленска выбраться в деревню. Еды не было, не стало и молока у Елены Михайловны, девочка умерла от голода. Большой семьёй они вновь вернулись в Смоленск, жили в каком-то подвале. В 1943 году немцы погрузили их в эшелон для отправки в Германию. На распределительном пункте немцы начали отсев больных, пожилых – родителей мамы Юрия отправили в крематорий. А маму, её сестру и несовершеннолетних племянников – в концлагерь. Сестра Зоя там и умерла. Мать заболела туберкулёзом, но выжила. Немцы в 1945-м, перед приходом советских войск, собрались уничтожить всех, кто находился в концлагере. Племянников спасла немка-надзирательница, вывезла их, как потом выяснилось, в Чехию. А маму освободили наши войска, она после допроса в НКВД вернулась в Смоленск. Отец пришёл с войны живым, в звании старшего лейтенанта. Семья в 1947 году вернулась в Смоленск.

Шахматами Юрий увлёкся в 12 лет, пошёл в кружок Дома пионеров, вёл который Николай Шиманович. Он не имел высокого разряда, но сумел увлечь ими известных сегодня шахматистов. Среди них Ефим Цурьев, Игорь Шляхтин, Владимир Степченков, Геннадий Неверовский, Александр Федулов, Эдуард Пенькевич, Виктор Реуков, Людмила Зальмензон, Людмила Дмитриенкова.

В 15 лет, когда Юра выполнил третий разряд, отец подарил ему трёхтомник партий чемпиона мира Михаила Ботвинника. Его творчество сыграло значительную роль в шахматной судьбе Мешкова, ему импонировал позиционный стиль игры Ботвинника.

Попал в команду Дворца пионеров. На первых соревнованиях сыграл плохо, набрал два очка из восьми. Но духом не пал, природный оптимизм помог справиться с неудачами. В 1967 году выполнил первый разряд, мастером спорта стал в 1980-м, а в 2000 году – международным мастером по шахматам.

Юрий Алексеевич окончил физмат Смоленского пединститута, но до этого он пять лет отработал на авиационном заводе, чтобы получить путёвку на рабфак. Ещё будучи студентом, начал работать тренером-преподавателем по шахматам в ДЮСШ-4, потом в другой школе, а сейчас в СДЮСШОР №3. Его преподавательский стаж – 36 лет, нравится работать с детьми, учить их играть в шахматы – самую умную игру, которую придумало человечество.

С 1988 года он является директором общественной организации – шахматного клуба «Феникс».